수학 천재 스리니바사 라마누잔
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수학 천재 스리니바사 라마누잔
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증명이란 수학계에서 통용되는 일종의 '화폐'다

증명이란 수학계에서 통용되는 일종의 '화폐'다. 그러나 모든 시대에 걸친 위대한 수학자 중 한 명인 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)은 종종 증명을 생략하곤 했다. 그런데 지금 라마누잔이 두 가지 타입의 수학적 함수 사이에 보여준 신비로운 직관과 관련된 증명을 하나 발견하였다.

이글은 최근 뉴사이어티스트(NewScientist)의 기사를 발췌 정리한 것이다.

▲ 캠브리지의 "길들여지지 않는 천재" 라마누잔(중앙) (Image: Charles F. Wilson/Wikimedia Commons)
이 증명은 라마누잔의 수수께끼 같은 정신 활동을 둘러싼 흥미로움을 깊게 해준다. 또한 물리학자들이 블랙홀에 대해 더욱 많은 것을 배울 수 있도록 도울지도 모른다. 비록 인도의 위대한 수학자 라마누잔이 생시에는 모르고 있었을지 모르지만.

1887년 인도 남동부 타밀 나두(Tamil Nadu) 주(州)의 에로데(Erode)에서 출생한 라마누잔은 독학으로 공부했으며, 그가 살던 시대 동료 수학계와는 거의 완전히 고립된 상태로 연구를 했다. 길들여지지 않은 천재로 묘사되는 그는 독자적으로 많은 기존의 결과들을 재발견했으며, 거기에 자신의 고유한 기여도를 보탰는데, 자신의 영감이 힌두교 여신 나마기리(Namagiri)로부터 온 것이라고 믿었다.

그러나 그는 수학계에서 유별난 스타일로도 유명한데, 종종 논리적 단계 사이를 증명하지 않고 자신만의 통찰력에서 통찰력으로 뛰어넘는 스타일이었다. 수학적 증명을 구성하는 것에 대한 그의 아이디어들은 매우 어슴푸레했다고 G.H.하디(G.H.Hardy, 위 사진의 맨 오른쪽)는 말했다. 그는 라마누잔의 멘토였으며 동료이기도 했다.

괴짜이긴 했지만 라마누잔의 연구는 종종 선견지명이 있는 것이었다. 올해 그의 탄생 125주년을 맞아서 라마누잔의 깊이 숨겨진 연구 업적을 발굴해 온 조지아 주(州) 애틀랜타의 에모리 대학 켄 오노(Ken Ono)는 다시 한 번 라마누잔의 노트와 편지를 살펴본다.

오노는 다시 한 번 돌아보고 뭔가 특별한 것을 증명하고자 한다. 오노는 라마누잔이 하디에게 쓴 마지막으로 썼다고 알려진 편지에 나오는 논의 내용에 주목하고 있다. 논의 내용은 "모듈러 형식"(modular form)이라 알려진 함수 타입에 관한 것이었다.

* 모듈러 형식(modular form)은 수학에서 특정한 종류의 함수 방정식과 증가 조건을 만족하는, 푸앵카레 상반 평면 위에서 정의되는 (복소) 해석함수이다. 따라서 모듈러 형식의 이론은 복소해석학에 속하지만 역사적으로는 정수론과 긴밀한 관계에 있어왔다. 모듈러 형식은 대수적 위상수학이나 끈이론 등의 다른 분야에도 나타난다(위키백과).

함수란 그래프로 도식화 가능한 방정식으로 사인 곡선 같은 것이 이에 해당하며, 주어진 값(좌표)에 대응하는 함숫값을 갖는다. 편지에서 라마누잔은 당시로서는 완전히 새로운 함수들을 여럿 적었다. 함수들은 기존에 알려진 어떤 모듈러 형식과도 달랐지만, 그는 함숫값들은 -1의 제곱근처럼 (부호를 빼고) 1의 근(根)을 계산할 때 모듈러 형식에서와 매우 비슷할 것이라고 적었다. 그리고 라마누잔은 가끔 그랬듯이 이 결론에 대해서 증명도 설명도 하지 않았다.

수학자들이 이와 유사한 함수들을 증명한 것은 최근 10년 전이었으며, 가(假) 모듈러 형식이라 부른다. 그러나 여전히 아무도 라마누잔이 '두 타입의 함수가 1의 근과 비슷한 함숫값을 내놓는다.'고 말한 의미를 헤아리지는 못한다.

이제 오노와 동료들은 -1에 매우 근접할 때 라마누잔의 가(假) 모듈러 형식 함숫값 하나를 정확하게 계산했다. 그들은 함숫값이 급격히 커져 100 자리 음수가 되는 것을 발견했는데, 그러나 (원래의) 모듈러 함수에서는 양의 방향으로 커진다.

오노의 연구팀은 양쪽의 함숫값을 더하면 그 합이 4에 수렴하는 것을 발견했다. 다시 말하자면 -1 값에 대응하는 두 함수들의 함숫값 간의 차이는 부호를 무시하면 라마누잔이 말한 것처럼 작은 값이라는 것이다.

이 결과는 라마누잔의 놀라운 직감을 확인해준다고 오노는 말한다. 라마누잔이 모듈러 형식의 함숫값을 계산할 수 있었다고 하더라도, 그러나 그가 오노의 연구팀처럼 가(假) 모듈러 형식의 함숫값을 계산할 수는 없었을 것이다. 오노는 자신이 증명한 정리(theorem)을 사용하여 이것들을 계산했다고 말한다.

그는 이번 주 플로리다 게인즈빌에서 개최된 라마누잔 125 주년 컨퍼런스에서 그의 놀라운 직관을 소개했다. 그가 이 정도의 직감을 지녔다는 것은 믿기 어렵지만, 그러나 그는 직감을 가졌음에 틀림이 없다고 말한다.

모듈러 형식의 함숫값이 커질 때 이를 계산하는 것은 가게에서 동전 하나를 쓰고 나서 1년 뒤 그 동전이 어디에서 굴러다닐지를 예측하는 것과 비교된다고 한다.

모듈러 형식과 가(假) 모듈러 형식 간의 차이를 추측하는 것은 더욱 믿기 어렵다고 오노는 말한다. 동전 두 개를 같은 가게에서 쓰고 나서 1년 뒤에 그 동전 두 개가 매우 가까이 있을 것을 예측하는 것과 같다는 것이다.

오노와 동료들은 두 모듈러 형식 타입에 대해서 1의 함숫값 차이를 정확하게 계산하는 공식을 만들었는데, 라마누잔은 이 공식을 알 수 없었을 것이라고 한다. 라마누잔 사후 현대 수학의 든든한 기반 위에서 유도된 공식이기 때문이다.

뉴저지 주(주)의 프린스턴 고등연구소 프리먼 다이슨(Freeman Dyson)은 라마누잔이 우리가 이해하지 못하는 일종의 마술적인 트릭을 갖고 있었다고까지 말한다.

모듈러 형식은 대개 추상 수학 문제와 관련이 있지만, 오노의 공식은 블랙홀의 엔트로피를 계산하는데 사용될 수도 있다.

따라서 이번 오노의 연구가 라마누잔의 마지막 기여가 될 것인가? 오노는 그럴 것이라 말하지만, 그러나 자신이 틀렸다고 해도 별로 놀랍지는 않을 것이라고 한다.
블랙홀의 연관성

신비에 싸인 수학자 스리니바사 라마누잔에게서 영감을 얻는 새로운 공식이 블랙홀에 대한 이해를 도울 수 있다.

오노가 고안한 공식은 가(假) 모듈러 형식이라 불리는 함수 타입을 다룬다. 이는 블랙홀의 엔트로피를 계산하는데 이용될 수 있다. 이는 블랙홀에서 복사선이 나온다는 스티븐 호킹의 놀라운 예측과 관련이 있다.

파리의 프랑스 국립과학연구소에서 블랙홀을 연구 중인 아티쉬 다브홀카(Atish Dabholkar)에 따르면, 만일 오노가 가(假) 모듈러 형식을 해석하는 새로운 방법을 정말로 발견했다면 블랙홀 연구에 영향을 줄 것이라고 말한다. 블랙홀에 대한 이해도가 개선될수록 가(假) 모듈러 형식이 물리학에 점차 많이 나온다고 그는 말한다.

* 스리니바사 라마누잔, Srinivasa Ramanujan.

 

인도의 수학자(1887.12.22 ~ 1920.4.26).

분배함수(分配函數)의 성질에 관한 연구를 포함해 정수학(整數學)에 크게 이바지한 수학자로, 독자적 방법에 의한 깊은 명찰과 직관과 귀납으로써 많은 결과들을 도출해 냈다.

1918년 인도인으로는 처음으로 영국 왕립학회 회원으로 선출되었고, 1919년 인도로 귀국하였으나, 이듬해 4월 26일 32세의 젊은 나이로 숨졌다. 생전에 영국과 유럽의 학술지에 37편의 논문을 발표하였고, 그 밖에 3편의 노트와 미발표 논문·원고들을 남겼다.

그의 연구는 거의 근대수학에 대한 지식이 없이 혼자 연구한 것임에도 연분수(連分數)에 관한 한 당시의 어떤 수학자들보다 뛰어나다는 평가를 받는다.

비록 소수론(素數論)에 관한 정리와 추론(推論)에 적지 않은 오류가 있었음에도 불구하고, 독자적 방법에 의한 깊은 명찰과 직관과 귀납으로써 많은 결과들을 도출해 냈다는 점에서 오일러(Leonhard Euler)·야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi) 이래로 가장 천재적인 수학자로 꼽힌다.
 

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